`

牛顿迭代法

F# 
阅读更多

http://baike.baidu.com/view/643093.htm

 

问题:

使用迭代公式 x=9/(x+2)可以找出方程x*x+2x-9=0的一个实根。请编写一个程序,根据这一个迭代公式,计算该方程的一个实根。迭代可以从x0=2.0开 始。请指示

 

回答:

正好温习了一下牛顿迭代法

设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值。过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1),称x2为r的二次近似值。重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n)) /f'(x(n)),称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。 

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。


x = x-f(x)/(x+2) 

x = (x*x + 2x - (x*x + 2x - 9) )/x+2 = 9/(x+2)

 

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)+(x-x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分,作为非线性方程f(x) = 0的近似方程,即泰勒展开的前两项,则有f(x0)+f'(x0)(x-x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0-f(x0)/f'(x0) 这样,得到牛顿法的一个迭代序列:x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n))。

分享到:
评论

相关推荐

Global site tag (gtag.js) - Google Analytics